Question

14．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，若函數(shù)  f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）寫出函數(shù)g（a）單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間（不必證明），并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先判斷出函數(shù)f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)減函數(shù)，然后求出M（a）、N（a），進(jìn)而求出g（a）的表達(dá)式即可；
（2）由一次函數(shù)的性質(zhì)知，g（a）=-8a+4在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$]單調(diào)減，a為$\frac{1}{2}$時，g（a）取最小值，代入求解即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{3}≤a≤1$，
∴f（x）的圖象為開口向上的拋物線，且對稱軸$x=\frac{1}{a}∈[1，3]$．
∴f（x）有最小值$N（a）=1-\frac{1}{a}$．
當(dāng)2≤$\frac{1}{a}$≤3時，a∈[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]，f（x）$有最大值M（a）=f（1）=a-1；     
當(dāng)1≤$\frac{1}{a}$＜2時，a∈（$\frac{1}{2}，1]，f（x）$有最大值M（a）=f（3）=9a-5；     
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}a-2+\frac{1}{a}（\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}）\\ 9a-6+\frac{1}{a}（\frac{1}{2}＜a≤1）.\end{array}\right.$
（2）設(shè)$\frac{1}{3}≤{a_1}＜{a_2}≤\frac{1}{2}$，
則 $g（{a_1}）-g（{a_2}）=（{a_1}-{a_2}）（1-\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}）＞0$，
∴g（a₁）＞g（a₂），
∴$g（a）在[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上是減函數(shù)．
設(shè)$\frac{1}{2}＜{a_1}＜{a_2}≤1$，
則$g（{a_1}）-g（{a_2}）=（{a_1}-{a_2}）（9-\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}）＜0$，
∴g（a₁）＜g（a₂），
∴g（a）在（$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)
∴當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，g（a）有最小值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)用，考查了函數(shù)的表達(dá)式以及最值的求法，屬于中檔題．