Question

5．已知命題P：實數(shù)m滿足：m²-7am+12a²＜a；
命題q：實數(shù)m滿足方程：$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦點在y軸上的橢圓．若￢q是￢p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，結(jié)合p是q的充分不必要條件，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：由m²-7am+12a²＜0（a＞0），
則3a＜m＜4a，
即命題p：3a＜m＜4a由$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1，
表示焦點在y軸上橢圓可得：2-m＞m-1＞0，
∴1＜m＜$\frac{3}{2}$，
即命題q：1＜m＜$\frac{3}{2}$，
由￢q是￢p 的充分不必要條件，
則p是q的充分不必要條件，
從而有：$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查了充分必要條件，考查復合命題問題，考查解不等式以及橢圓的定義，是一道中檔題．