Question

9．一邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋的方盒，當(dāng)x等于$\frac{a}{6}$時(shí)，方盒的容積最大．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出容積的表達(dá)式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，由導(dǎo)數(shù)可得在x=$\frac{a}{6}$時(shí)函數(shù)V（x）有最大值．

解答 解：由于在邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長為x的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，
所以無蓋方盒的底面是正方形，且邊長為a-2x，高為x，
則無蓋方盒的容積V（x）=（a-2x）²x，0＜x＜$\frac{a}{2}$
即V（x）=（a-2x）²x=4x³-4ax²+a²x，0＜x＜$\frac{a}{2}$；
V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{a}{6}$）時(shí)，V′（x）＞0；
當(dāng)x∈（$\frac{a}{6}$，$\frac{a}{2}$）時(shí)，V′（x）＜0；
故x=$\frac{a}{6}$是函數(shù)V（x）的最大值點(diǎn)，
即當(dāng)x=$\frac{a}{6}$時(shí)，方盒的容積V最大．
故答案為：$\frac{a}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查生活中的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．