Question

已知x_n是函數(shù)f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1（x＞0，n∈N且n≥2）的零點(diǎn)．
（1）證明：

1

2

＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）證明：

x1+x2+…+xn

n

＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用f（1）=n-1＞0，f（

1

2

）=1-(

1

2

)n＜0，可得f（x）在（

1

2

，1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，利用反證法證明x_n+1＜x_n；
（3）原不等式等價(jià)于x₂+x₃+…+x_n＜

n

2

，證明x_n＜

1

2

+(

1

2

)n，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1，
∴f′（x）=nx^n-1+（n-1）x^n-2+…+2x+1，
∵x＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（1）=n-1＞0，f（

1

2

）=1-(

1

2

)n＜0，
∴f（x）在（

1

2

，1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
∴

1

2

＜x_n＜1，
假設(shè)：x_n+1≥x_n，
∴x_n+1ⁿ⁺¹+x_n+1ⁿ+x^n-2+…+x_n+1-1＞x_nⁿ+x_n^n-1+x_n^n-2+…+x_n-1，
∴f（x_n+1）＞f（x_n），
即0＞0，矛盾，
∴x_n+1＜x_n，
∴

1

2

＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）原不等式等價(jià)于x₂+x₃+…+x_n＜

n

2

，
∵|f（x_n）-f（

1

2

）|=|x_nⁿ+x_n^n-1+x_n^n-2+…+x_n-1-(

1

2

）ⁿ-…-

1

2

+1|＞x_n-

1

2

f（x_n）=0，f（

1

2

）=-(

1

2

)n，
∴x_n＜

1

2

+(

1

2

)n，
∴x₁+x₂+…+x_n＜

n-1

2

+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

n-1

2

+

1

2

-(

1

2

)n＜

n

2

∴

x1+x2+…+xn

n

＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．