Question

【題目】在四棱錐中， 平面， 是的中點(diǎn)， ， ， .

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，則，先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明；進(jìn)而可得，再由線面判定定理即可證明平面，從而可得；（2）建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，即可求二面角的余弦值.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接，則.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以又

所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以；又，所以；

又因?yàn)?/span>, ，所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， ，

， .

設(shè)平面的法向量為，則所以

令，所以.

由（1）知平面， 平面，所以.

同理，所以平面

所以平面的一個(gè)法向量.

所以，

由圖可知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.