Question

4．△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)D在邊AB上，BD=1，且DA=DC．
（Ⅰ）若△BCD的面積為$\sqrt{3}$，求CD；
（Ⅱ）若AC=$\sqrt{3}$，求∠DCA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求出，
（Ⅱ）分別根據(jù)正弦定理和誘導(dǎo)公式即可得到sin（2α+$\frac{π}{3}$）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），解得即可．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)D在邊AB上，BD=1，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•BC•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$•BC=$\sqrt{3}$，
∴BC=4，
由余弦定理可得CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cosB=1+16-2×1×4×$\frac{1}{2}$=13，
∴CD=$\sqrt{13}$，
（Ⅱ）設(shè)∠DCA=α，
∵DA=DC，
∴∠A=∠DCA=α，
在△ADC中，由正弦定理可得$\frac{AD}{sinα}$=$\frac{AC}{sin（π-2α）}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin2α}$=$\frac{\sqrt{3}}{2sinαcosα}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2cosα}$，
在△BDC中，由正弦定理可得$\frac{BD}{sin（π-2α-\frac{π}{3}）}$=$\frac{CD}{sin\frac{π}{3}}$，
∴$\frac{1}{sin（2α+\frac{π}{3}）}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2cosα}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{cosα}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），
∴2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$-α，或2α+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$-α=π，
解得α=$\frac{π}{18}$或α=$\frac{π}{6}$
故∠DCA=$\frac{π}{18}$或$\frac{π}{6}$

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，屬于中檔題．