Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），數(shù)列{b_n}滿足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈R），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列；
（Ⅲ）若當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，S_n取得最小值，求b₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得{a_n}是等差數(shù)列，an=

1

4

+(n-1)•

1

2

=

2n-1

4

，b_n+1-a_n+1=

1

3

bn+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

(bn-an)．由此能證明{b_n-a_n}是以b1-

1

4

為首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由bn=(b1-

1

4

)•(

1

3

)n-1+

2n-1

4

．得當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=

1

2

-

2

3

(b1-

1

4

)(

1

3

)n-2．由此能證明{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．
（Ⅲ）由已知得

b3＜0 b4＞0

，由此能求出b₁的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），
∴{a_n}是等差數(shù)列．
又∵a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
∴an=

1

4

+(n-1)•

1

2

=

2n-1

4

，
∵bn=

1

3

bn-1+

n

3

，（n≥2，n∈N^*），
∴b_n+1-a_n+1=

1

3

bn+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

bn-

2n-1

12

=

1

3

(bn-

2n-1

4

)
=

1

3

(bn-an)．
又∵b1-a1=b1-

1

4

≠0，
∴{b_n-a_n}是以b1-

1

4

為首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．

（Ⅱ）∵b_n-a_n=（b₁-

1

4

）•（

1

3

）^n-1，an=

2n-1

4

．
∴bn=(b1-

1

4

)•(

1

3

)n-1+

2n-1

4

．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=

1

2

-

2

3

(b1-

1

4

)(

1

3

)n-2．
又b₁＜0，∴b_n-b_n-1＞0．
∴{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．  

（Ⅲ）∵當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，S_n取最小值．
∴

b3＜0 b4＞0

，即

5 4 +(b1- 1 4 )( 1 3 )2＜0 7 4 +(b1- 1 4 )( 1 3 )3＞0

，
∴b₁∈（-47，-11）．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查增數(shù)列的證明，考查數(shù)列的首項(xiàng)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．