Question

19．已知曲線y=lnx與曲線y=ax-$\frac{a}{x}$有三個交點，則實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 若曲線y=lnx與曲線y=ax-$\frac{a}{x}$有三個交點，則f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$有三個零點，故f′（x）=0有兩個正根，且f′（1）＞0，進而得到答案．

解答 解：令f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，
則f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
若曲線y=lnx與曲線y=ax-$\frac{a}{x}$有三個交點，
則f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$有三個零點，
當x=1時，f（1）=0，f′（1）=1-2a，
故f′（x）=0有兩個正根，且f′（1）＞0，
則$\left\{\begin{array}{l}1-4{a}^{2}＞0\\ \frac{1}{a}＞0\\ 1-2a＞0\end{array}\right.$
解得：a∈（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．