精英家教網(wǎng)如圖所示,對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪A、B,用一條足夠長的繩子跨過它們,并在兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1≠m2),另在兩滑輪中間的一段繩子的O點處懸掛質(zhì)量為m的另一物體,已知m1:m2=OB:OA,且系統(tǒng)保持平衡(滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計).求證:
(1)∠AOB為定值;
(2)
m2m1m2
>2.
分析:(1)設(shè)兩繩子AO、BO對物體m的拉力分別為F1、F2,物體m向下的重力為F,由系統(tǒng)平衡條件知F1+F2+F=0.進(jìn)而設(shè)∠BAO=α,∠ABO=β,根據(jù)平行四邊形法則,得F2cosβ+F1cos(π-α)=0,整理得m2cosβ-m1cosα=0,m2sinβ+m1sinα=m.進(jìn)而利用正弦定理求得OB:OA=sinα:sinβ代入m2cosβ-m1cosα=0化簡整理求得sin2β=sin2α.推斷出2α+2β=180°.進(jìn)而可知α+β=90°,則∠AOB可求.
(2)根據(jù)α+β=90°推斷出cosβcosα=sinβsinα.進(jìn)而利用(1)中的m2cosβ-m1cosα=0,和m2sinβ+m1sinα=m.平方后相加,進(jìn)而求得m2-2m1m2>0,整理得
m2
m1m2
>2.原式得證.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)兩繩子AO、BO對物體m的拉力分別為F1、F2,物體m向下的重力為F,由系統(tǒng)平衡條件知F1+F2+F=0.
如圖,設(shè)∠BAO=α,∠ABO=β,根據(jù)平行四邊形法則,得
F2cosβ+F1cos(π-α)=0,
F2sinβ+F1sin(π-α)+F=0.
即m2cosβ-m1cosα=0,①
m2sinβ+m1sinα=m.②
在△AOB中,由正弦定理,得OB:OA=sinα:sinβ,將m1:m2=sinα:sinβ代入①,得
sinβcosβ=sinαcosα,即sin2β=sin2α.
∵m1≠m2,∴OA≠OB.∴α≠β,2α+2β=180°.
∴α+β=90°,即∠AOB=90°.
(2)由α+β=90°,得 cosβcosα=sinβsinα.
將①②平方相加,得m2=m12+m22
由m2-2m1m2=m12+m22-2m1m2=(m1-m22>0,得m2>2m1m2
m2
m1m2
>2.
點評:本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用.考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪,用一條(足夠長)繩子跨過它們,并在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體,另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體,為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài),此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?(忽略滑輪半徑、繩子的重量)

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Y1 Y2 總 計
x1 a b a+b
x2 c d c+d
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如圖所示,對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪A、B,用一條足夠長的繩子跨過它們,并在兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1≠m2),另在兩滑輪中間的一段繩子的O點處懸掛質(zhì)量為m的另一物體,已知m1:m2=OB:OA,且系統(tǒng)保持平衡(滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計).求證:
(1)∠AOB為定值;
(2)數(shù)學(xué)公式>2.

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如圖所示,對于同一高度(足夠高)的兩個定滑輪,用一條(足夠長)繩子跨過它們,并在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體,另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體,為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài),此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?(忽略滑輪半徑、繩子的重量)

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