Question

如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個(gè)定滑輪A、B，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為m₁和m₂的物體（m₁≠m₂），另在兩滑輪中間的一段繩子的O點(diǎn)處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知m₁：m₂=OB：OA，且系統(tǒng)保持平衡（滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計(jì)）．求證：
（1）∠AOB為定值；
（2）＞2．

Answer 1

解：（1）設(shè)兩繩子AO、BO對物體m的拉力分別為F₁、F₂，物體m向下的重力為F，由系統(tǒng)平衡條件知F₁+F₂+F=0．
如圖，設(shè)∠BAO=α，∠ABO=β，根據(jù)平行四邊形法則，得
F₂cosβ+F₁cos（π-α）=0，
F₂sinβ+F₁sin（π-α）+F=0．
即m₂cosβ-m₁cosα=0，①
m₂sinβ+m₁sinα=m．②
在△AOB中，由正弦定理，得OB：OA=sinα：sinβ，將m₁：m₂=sinα：sinβ代入①，得
sinβcosβ=sinαcosα，即sin2β=sin2α．
∵m₁≠m₂，∴OA≠OB．∴α≠β，2α+2β=180°．
∴α+β=90°，即∠AOB=90°．
（2）由α+β=90°，得 cosβcosα=sinβsinα．
將①②平方相加，得m²=m₁²+m₂²．
由m²-2m₁m₂=m₁²+m₂²-2m₁m₂=（m₁-m₂）²＞0，得m²＞2m₁m₂．
∴＞2．
分析：（1）設(shè)兩繩子AO、BO對物體m的拉力分別為F₁、F₂，物體m向下的重力為F，由系統(tǒng)平衡條件知F₁+F₂+F=0．進(jìn)而設(shè)∠BAO=α，∠ABO=β，根據(jù)平行四邊形法則，得F₂cosβ+F₁cos（π-α）=0，整理得m₂cosβ-m₁cosα=0，m₂sinβ+m₁sinα=m．進(jìn)而利用正弦定理求得OB：OA=sinα：sinβ代入m₂cosβ-m₁cosα=0化簡整理求得sin2β=sin2α．推斷出2α+2β=180°．進(jìn)而可知α+β=90°，則∠AOB可求．
（2）根據(jù)α+β=90°推斷出cosβcosα=sinβsinα．進(jìn)而利用（1）中的m₂cosβ-m₁cosα=0，和m₂sinβ+m₁sinα=m．平方后相加，進(jìn)而求得m²-2m₁m₂＞0，整理得＞2．原式得證．
點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．