Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若對(duì)任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0，都有 ．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（2）若 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≤（1﹣2a）t+2對(duì)所有和x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)任意x1，x2滿足﹣1≤x1＜x2≤1，由題意可得 ，

∴f（x）在定義域[﹣1，1]上位增函數(shù)

（2）解：由（1）知 ，

∴即a的取值范圍為

（3）證明：由（1）知f（x）max≤（1﹣2a）t+2對(duì)任意a∈[﹣1，1]都恒成立，

即1≤﹣2ta+t+2對(duì)任意a∈[﹣1，1]都恒成立，

∴ ，

即t的取值范圍為

【解析】（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，作差f（x1）﹣f（x2）后化積可判斷f（x1）﹣f（x2）＜0，從而可證明函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；（2）利用奇函數(shù)在[﹣1，1]上單調(diào)遞增可得， 解之即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）由（1）知f（x）max≤（1﹣2a）t+2對(duì)任意a∈[﹣1，1]都恒成立1≤﹣2ta+t+2對(duì)任意a∈[﹣1，1]恒成立，可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題．