Question

10．已知a∈R，函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{a}{x}$．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-f（4）在區(qū)間（4，16）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解方程f（x）=0即可得出f（x）的零點(diǎn)；
（2）由f（x）=f（4）在（4，16）上有解可知f（x）在（4，16）不單調(diào)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性得出f（4）與f（16）的大小關(guān)系即可得出a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$，令f（x）=0得$\sqrt{x}$=$\frac{1}{x}$，
∴x=$\frac{1}{{x}^{2}}$，解得x=1．
∴f（x）的零點(diǎn)為x=1．
（2）令g（x）=0得f（x）=f（4）=$\frac{a}{4}+2$．
∵f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{3}}-2a}{2{x}^{2}}$，
①若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（4，16）上為增函數(shù)，
∴f（x）=f（4）無解．即g（x）在（4，16）上無零點(diǎn)．
②若a＞0，令f′（x）=0，解得x=$\root{3}{4{a}^{2}}$．
∴當(dāng)0＜x＜$\root{3}{4{a}^{2}}$時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞$\root{3}{4{a}^{2}}$時，f′（x）＞0．
∴當(dāng)$\root{3}{4{a}^{2}}$≤4或$\root{3}{4{a}^{2}}$≥16時，f（x）在（4，16）上為單調(diào)函數(shù)，顯然f（x）=f（4）無解．
當(dāng)4＜$\root{3}{4{a}^{2}}$＜16，即4＜a＜32時，f（x）在（4，16）上先減后增，
∵g（x）=f（x）-f（4）在區(qū)間（4，16）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴f（16）＞f（4），即4+$\frac{a}{16}$＞2+$\frac{a}{4}$，又4＜a＜32，
解得：4＜a$＜\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．