Question

1．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右兩個焦點，|F₁F₂|=4，長軸長為6，又A，B分別是橢圓C上位于x軸上方的兩點，且滿足$\overrightarrow{A{F_1}}$=2$\overrightarrow{B{F_2}}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線AF₁的方程；
（Ⅲ）求平行四邊形AA₁B₁B的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右兩個焦點，|F₁F₂|=4，長軸長為6，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設直線AF₁的方程為y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}\right.$，得$（{\frac{5}{k^2}+9}）{y^2}-\frac{20}{k}y-25=0$，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出直線AF₁的方程．
（Ⅲ）由${S_{A{A_1}{B_1}B}}=2{S_{△A{A_1}{F_2}}}=|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|$，利用弦長公式能求出四邊形AA₁B₁B的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右兩個焦點，|F₁F₂|=4，長軸長為6，
∴由題意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，
∵$2\sqrt{{a^2}-{b^2}}=4$，∴b²=5…（2分）
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$…（4分）
（Ⅱ）設直線AF₁的方程為y=k（x+2），且交橢圓于A（x₁，y₁），A₁（x₂，y₂）兩點．
由題意知$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}\right.$，即$（{\frac{5}{k^2}+9}）{y^2}-\frac{20}{k}y-25=0$，
△＞0，${y_1}+{y_2}=\frac{20k}{{5+9{k^2}}}$，①，${y_1}•{y_2}=\frac{{-25{k^2}}}{{5+9{k^2}}}$，②…（6分）
∵${\overrightarrow{AF}_1}=2{\overrightarrow{BF}_2}$，∴y₁=-2y₂③
聯(lián)立①②③消去y₁y₂，得$k=\sqrt{3}$．
∴直線AF₁的方程為$y=\sqrt{3}（x+2）$…（8分）
（Ⅲ）∵AA₁B₁B是平行四邊形，
∴${S_{A{A_1}{B_1}B}}=2{S_{△A{A_1}{F_2}}}=|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|$…（10分）
=$4|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{\sqrt{{{（20\sqrt{3}）}^2}+4×32×75}}}{8}=\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$
∴四邊形AA₁B₁B的面積為$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓、直線方程的求法，考查四邊形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量知識、弦長公式的合理運用．