Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a為常數(shù)，且a＞0）．
（1）是否存在常數(shù)a，使f（x）在（0，3]上單調(diào)遞減，且在[3，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；
（2）若關(guān)于x的不等式x+$\frac{a}{x}$-m≤0（m為常數(shù)）在[1，4]上恒成立，求常數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=3，即可求出a的值，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論即可求出函數(shù)f（x）的最大值，即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a為常數(shù)，且a＞0），x≠0，
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在（0，3]上單調(diào)遞減，且在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=3時(shí)函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴9-a=0，
解得a=9，
（2）不等式x+$\frac{a}{x}$-m≤0（m為常數(shù)）在[1，4]上恒成立，
即m≥x+$\frac{a}{x}$在[1，4]上恒成立，
∵f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（4）=4+$\frac{a}{4}$，
當(dāng)a≥16時(shí)，
f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=1+a，
當(dāng)1＜a＜16時(shí)，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$，此時(shí)1＜$\sqrt{a}$＜4，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即$\sqrt{a}$＜x≤4時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即1≤x＜$\sqrt{a}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
若1+a≥4+a，即4≤a＜16時(shí)，f（x）_max=f（1）=1+a，
若1+a＜4+a，即1＜a＜4時(shí)，f（x）_max=f（4）=4+$\frac{a}{4}$，
綜上所述：當(dāng)0＜a≤4時(shí)，f（x）_max=4+$\frac{a}{4}$，
當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）_max=1+a，
所以m的取值范圍為，當(dāng)0＜a≤4時(shí)，m≥4+$\frac{a}{4}$，
當(dāng)a＞4時(shí)，m≥1+a．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及分類討論的思想，屬于中檔題．