Question

5．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問(wèn)幾何日相逢？各穿幾何？”，翻譯成今天的話是：一只大鼠和一只小鼠分別從的墻兩側(cè)面對(duì)面打洞，已知第一天兩鼠都打了一尺長(zhǎng)的洞，以后大鼠每天打的洞長(zhǎng)是前一天的2倍，小鼠每天打的洞長(zhǎng)是前一天的一半，已知墻厚五尺，問(wèn)兩鼠幾天后相見(jiàn)？相見(jiàn)時(shí)各打了幾尺長(zhǎng)的洞？設(shè)兩鼠x 天后相遇（假設(shè)兩鼠每天的速度是勻速的），則x=（　�。�

• A． $2\frac{1}{18}$
• B． $2\frac{1}{17}$
• C． $2\frac{2}{17}$
• D． $2\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 由于前兩天大鼠打1+2尺，小鼠打1+$\frac{1}{2}$尺，因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5．第三天，大鼠打4尺，小鼠打$\frac{1}{4}$尺，因此第三天相遇．設(shè)第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5-y尺，可得$\frac{y}{4}=\frac{0.5-y}{\frac{1}{4}}$，解得y，進(jìn)而得出．

解答 解：由于前兩天大鼠打1+2尺，小鼠打1+$\frac{1}{2}$尺，因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5．
第三天，大鼠打4尺，小鼠打$\frac{1}{4}$尺，因此第三天相遇．
設(shè)第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5-y尺，
則$\frac{y}{4}=\frac{0.5-y}{\frac{1}{4}}$，解得y=$\frac{8}{17}$．
相見(jiàn)時(shí)大鼠打了1+2+$\frac{8}{17}$=$3\frac{8}{17}$尺長(zhǎng)的洞，小鼠打了1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{34}$=$1\frac{9}{17}$尺長(zhǎng)的洞，
x=2+$\frac{8}{17}÷4$=2$\frac{2}{17}$天，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．