Question

【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x﹣a|．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．

當(dāng)a=0時(shí)f（x）=x|x﹣a|=x|x|，為奇函數(shù)．

當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x|x﹣a|，

f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，

f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），

∴此時(shí)函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)

（2）解：若a≤0，則函數(shù)f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=|1﹣a|=1﹣a，

若a＞0，由題意可得f（x）= ，

由于a＞0且0≤x≤1，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知，

由 ，

當(dāng) ，即a≥2時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，

∴f（x）的最大值為f（1）=a﹣1；

當(dāng) ，

即 時(shí)，f（x）在[0， ]上遞增，在[ ，a]上遞減，

∴f（x）的最大值為f（ ）= ；

當(dāng) ，即 時(shí)，

f（x）在[0， ]上遞增，在[ ，a]上遞減，在[a，1]上遞增，

∴f（x）的最大值為f（1）=1﹣a

【解析】（1）先得出函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)a分類討論，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義可得結(jié)果，（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數(shù)，此時(shí)最大值為f（x）=1-a，當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行定區(qū)間討論得出最大值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值即可以解答此題．