【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x|x﹣a|.
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)當(dāng)0≤x≤1時(shí),求f(x)的最大值.
【答案】
(1)解:由題意可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.
當(dāng)a=0時(shí)f(x)=x|x﹣a|=x|x|,為奇函數(shù).
當(dāng)a≠0時(shí),f(x)=x|x﹣a|,
f(1)=|1﹣a|,f(﹣1)=﹣|1+a|,
f(﹣x)≠f(x)且f(﹣x)≠﹣f(x),
∴此時(shí)函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)
(2)解:若a≤0,則函數(shù)f(x)=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數(shù),
∴函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=|1﹣a|=1﹣a,
若a>0,由題意可得f(x)= ,
由于a>0且0≤x≤1,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知,
由 ,
當(dāng) ,即a≥2時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
∴f(x)的最大值為f(1)=a﹣1;
當(dāng) ,
即 時(shí),f(x)在[0, ]上遞增,在[ ,a]上遞減,
∴f(x)的最大值為f( )= ;
當(dāng) ,即 時(shí),
f(x)在[0, ]上遞增,在[ ,a]上遞減,在[a,1]上遞增,
∴f(x)的最大值為f(1)=1﹣a
【解析】(1)先得出函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)a分類討論,結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義可得結(jié)果,(2)當(dāng)a≤0時(shí),f(x)=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數(shù),此時(shí)最大值為f(x)=1-a,當(dāng)a>0時(shí),對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行定區(qū)間討論得出最大值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的最值及其幾何意義,掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值即可以解答此題.
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(1)若直線MN的斜率為 ,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
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A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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(2)若A∪B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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(1)求a,b的值;
(2)若b<1,g(x)=f(x)﹣mx在[2,4]上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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