Question

【題目】設(shè)F1 ， F2分別是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線(xiàn)MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．
（1）若直線(xiàn)MN的斜率為 ，求C的離心率；
（2）若直線(xiàn)MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M(jìn)是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，

∴M的橫坐標(biāo)為c，當(dāng)x=c時(shí)，y= ，即M（c， ），

若直線(xiàn)MN的斜率為 ，

即tan∠MF1F2= ，

即b2= =a2﹣c2，

即c2+ ﹣a2=0，

則 ，

即2e2+3e﹣2=0

解得e= 或e=﹣2（舍去），

即e= ．

（2）解：由題意，原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn)，則直線(xiàn)MF1與y軸的交點(diǎn)D（0，2）是線(xiàn)段MF1的中點(diǎn)，

設(shè)M（c，y），（y＞0），

則 ，即 ，解得y= ，

∵OD是△MF1F2的中位線(xiàn)，

∴ =4，即b2=4a，

由|MN|=5|F1N|，

則|MF1|=4|F1N|，

解得|DF1|=2|F1N|，

即

設(shè)N（x1，y1），由題意知y1＜0，

則（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．

即 ，即

代入橢圓方程得 ，

將b2=4a代入得 ，

解得a=7，b= ．

【解析】（1）根據(jù)條件求出M的坐標(biāo)，利用直線(xiàn)MN的斜率為 ，建立關(guān)于a，c的方程即可求C的離心率；（2）根據(jù)直線(xiàn)MN在y軸上的截距為2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程組關(guān)系，求出N的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到結(jié)論．