Question

12．機動車駕駛證考試分理論考試和實際操作考試兩部分進行，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分都“合格”者，則機動車駕駛證考試“合格”（并頒發(fā)機動車駕駛證）．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，在實際操作中“合格”的概率依次為$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{6}$，所有考試是否合格相互之間沒有影響．
（1）求這3人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有2人獲得（機動車駕駛證）的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙三人在理論考試中合格的人數，求X的分布列和數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）記“甲獲得《機動車駕駛證》”為事件A《“乙獲得《機動車駕駛證》”為事件B，“丙獲得《機動車駕駛證》”為事件C，“這3人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有2人獲得（機動車駕駛證）”為事件D，由P（D）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC），能求出這3人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有2人獲得（機動車駕駛證）的概率．
（2）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）記“甲獲得《機動車駕駛證》”為事件A《“乙獲得《機動車駕駛證》”為事件B，
“丙獲得《機動車駕駛證》”為事件C，“這3人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有2人獲得（機動車駕駛證）”為事件D，
則P（A）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{9}$，
則P（D）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）
=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{4}{9}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$=$\frac{11}{30}$．
（2）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{60}$，
P（X=1）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{9}{60}$，
P（X=2）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{26}{60}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{24}{60}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{60}$	$\frac{9}{60}$	$\frac{26}{60}$	$\frac{24}{60}$

E（X）=$0×\frac{1}{60}+1×\frac{9}{60}+2×\frac{26}{60}+3×\frac{24}{60}$=$\frac{133}{60}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．