Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-ax-1（a∈R）．
（1）若f（x） 的單調減區(qū)間為（-1.1），求a的值；
（2）若f（x） 在（-1，1）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的范圍；
（3）討論f（x） 的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，得到關于a的方程，解出即可；
（2）結合（1），得到關于a的不等式，解出即可；
（3）求導f′（x）=3x²-a，從而討論a以確定導數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調性．

解答 解：（1）解：（1）∵f（x）=x³-ax-1，
∴f′（x）=3x²-a，
令f′（x）＜0，即x²＜$\frac{1}{3}$a，
①當a≤0時，顯然不等式x²＜$\frac{1}{3}$a無解；
②當a＞0時，解不等式x²＜$\frac{1}{3}$a，得-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上單調遞減，
由題可知$\frac{\sqrt{3a}}{3}$=1即a=3；
綜上所述，a=3時，f（x）的單調減區(qū)間是（-1，1）；
（2）由（1）得：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上單調遞減，
若f（x） 在（-1，1）上是減函數(shù)，則$\frac{\sqrt{3a}}{3}$≥1，解得：a≥3；
（3）∵f（x）=x³-ax-1，
∴f′（x）=3x²-a，
當a≤0時，f′（x）=3x²-a≥0恒成立，
故函數(shù)f（x）=x³-ax-1在R上是增函數(shù)，
當a＞0時，由（1）得：
故f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，+∞）上是增函數(shù)，
在（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上是減函數(shù)．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．