Question

5．若橢圓$\frac{x^2}{m}$+y²=1（m＞1）與雙曲線$\frac{x^2}{n}$-y²=1（n＞0）有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則△F₁PF₂的面積是（　�。�

• A． 3
• B． 1
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題設(shè)中的條件，設(shè)兩個(gè)圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2$\sqrt{m}$，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{n}$，由它們有相同的焦點(diǎn)，得到m-n=2．根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{m}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{n}$，△PF₁F₂ 中，由三邊的關(guān)系得出其為直角三角形，由△PF₁F₂的面積公式即可運(yùn)算得到結(jié)果．

解答 解：由題意設(shè)兩個(gè)圓錐曲線的焦距為2c，
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2$\sqrt{m}$，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{n}$，
由它們有相同的焦點(diǎn)，得到m-1=n+1，即m-n=2．
不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{n}$，①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{m}$，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+n），
即有|PF₁|•|PF₂|=m-n=2，
又|F₁F₂|=2$\sqrt{m-1}$，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=4（m-1），
|F₁F₂|²=4（m-1），即|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
即有△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×2=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查焦點(diǎn)三角形的面積，注意運(yùn)用橢圓與雙曲線的定義，求焦點(diǎn)三角形三邊的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．