Question

10．2014年北京市小學(xué)學(xué)區(qū)劃片及對口中學(xué)的詳細目錄出臺，自強小學(xué)的學(xué)區(qū)劃片是A社區(qū)，B社區(qū)和C社區(qū)；對口直升中學(xué)或大派位中學(xué)是甲中學(xué)、乙中學(xué)、丙中學(xué)、丁中學(xué)．如A社區(qū)的學(xué)齡兒童可在自強小學(xué)上學(xué)，小學(xué)畢業(yè)后，可以到甲、乙、丙、丁四所中學(xué)中的一所學(xué)校就讀．
（I）求2014年自強小學(xué)的一年級新生小明、小華來自于不用社區(qū)的概率（假設(shè)小明、小華來自于每個社區(qū)都是等可能的）
（II）自強小學(xué)2014年的一年級新生小明、小華、小軍三個好朋友小學(xué)畢業(yè)后都想去甲中學(xué)就讀，假設(shè)自強小學(xué)的每個學(xué)生直升或大派位到甲、乙、丙、丁四所中學(xué)就讀的可能性都相等，設(shè)三人中到甲中學(xué)就讀的人數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出2014年自強小學(xué)的一年級新生小明、小華來自于社區(qū)的基本事件總數(shù)，求出求出小明、小華來自于不用社區(qū)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出2014年自強小學(xué)的一年級新生小明、小華來自于不用社區(qū)的概率．
（Ⅱ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列及E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得2014年自強小學(xué)的一年級新生小明、小華來自于社區(qū)的基本事件總數(shù)n=3×3=9，
小明、小華來自于不用社區(qū)包含的基本事件個數(shù)m=${A}_{3}^{2}$=6，
∴2014年自強小學(xué)的一年級新生小明、小華來自于不用社區(qū)的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）∵自強小學(xué)的每個學(xué)生直升或大派位到甲、乙、丙、丁四所中學(xué)就讀的可能性都相等，
設(shè)三人中到甲中學(xué)就讀的人數(shù)為X，
∴X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{64}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

E（X）=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．