Question

20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知A₁在底面ABC內的射影是線段BC的中點，且A₁O=OC，BC⊥AA₁．
（1）證明：四邊形ABB₁A₁是菱形；
（2）若A₁O=OC=2，AO=1，求三棱錐A₁-BCB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連結AO，則可證BC⊥平面A₁AO，故BC⊥AO，由Rt△A₁AO≌RtCAO≌Rt△BAO得出AA₁=AB，結合四邊形ABB₁A₁是平行四邊形得出結論；
（2）根據(jù)AA₁∥平面BCC₁B₁可得V${\;}_{{A}_{1}-BC{B}_{1}}$=V${\;}_{A-BC{B}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•{A}_{1}O$．

解答 證明：（1）連接AO．
∵A₁在底面ABC內的射影是線段BC的中點O，
∴BC⊥A₁O．
又∵BC⊥AA₁，A₁O∩AA₁=A₁，AA₁?平面AA₁O，A₁O?平面AA₁O，
∴BC⊥平面AA₁O．
∵AO?平面AA₁O，
∴BC⊥AO．
∴Rt△A₁AO≌RtCAO，
又O是線段BC的中點，
∴RtCAO≌Rt△BAO，
∴Rt△A₁AO≌Rt△BAO，
∴AB=AA₁．
又∵四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，
∴四邊形ABB₁A₁是菱形．
解：（2）∵A₁O=OC=2，AO=1，
∴BC=2OC=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}BC•AO$=$\frac{1}{2}×4×1$=2．
∴V${\;}_{{A}_{1}-BC{B}_{1}}$=V${\;}_{A-BC{B}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．