Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-a²lnx（a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）在（1，+∞）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，
（Ⅱ）根據(jù)調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，分類討論即可求出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-x-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=-$\frac{1}{2}$（舍去），或x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=0，
∴當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的最小值為0，
（Ⅱ）：f′（x）=2x-a-$\frac{{a}^{2}}{x}$=$\frac{（2x+a）（x-a）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=-$\frac{a}{2}$，或x=a，
①當(dāng)a＜-2時(shí)，-$\frac{a}{2}$＞1，
當(dāng)x∈（1，-$\frac{a}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，-$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-$\frac{a}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)-2≤a＜0時(shí)，0＜-$\frac{a}{2}$≤1，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
③0≤a≤1時(shí)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
④當(dāng)a＞1時(shí)
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在（1，-$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)-2≤a≤1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．