Question

19．已知函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{0，\frac{1}{2}}）$，且相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，若$f（{\frac{A}{2}}）-cosA=\frac{1}{2}$，bc=1，b+c=3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出初相，求出函數(shù)的周期，即可得到函數(shù)f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用函數(shù)的解析式求出A，然后利用余弦定理求解a的值即可．

解答 解：（1）由f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)$（{0，\frac{1}{2}}）$，得$sinφ=\frac{1}{2}$
又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$…（1分）
由相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為$\frac{π}{2}$，知f（x）的周期T=π
則$\frac{2π}{ω}=π∴ω=2$…（2分）
∴$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$…（4分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$…（5分）
當(dāng)k=0時(shí)，$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$；當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{2π}{3}≤x≤\frac{7π}{6}$
所以函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{0，\frac{π}{6}}]$，$[{\frac{2π}{3}，π}]$…（6分）
（2）由$f（{\frac{A}{2}}）-cosA=\frac{1}{2}$，可得$sin（{A+\frac{π}{6}}）-cosA=\frac{1}{2}$
則$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA=\frac{1}{2}$…（7分）
化簡(jiǎn)得$sin（{A-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$…（8分）
∵$0＜A＜π∴-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$…（9分）
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，∴$A=\frac{π}{3}$…（10分）
又bc=1，b+c=3，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=6，…（11分）
∴$a=\sqrt{6}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．