Question

10．函數(shù)f（x）的定義域為實數(shù)R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^x}-1，-1≤x＜0\\{log_2}（x+1），0≤x＜3.\end{array}$對任意的x∈R都有f（x+2）=f（x-2）．若在區(qū)間[-5，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx+m恰好有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}）$
• B． $[-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}）$
• C． $（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$
• D． $[-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}]$

Answer 1

分析 由函數(shù)的性質(zhì)得到周期性，由函數(shù)零點轉(zhuǎn)換為兩圖象相交，由數(shù)形結(jié)合得到m的范圍．

解答 解：∵任意的x∈R都有f（x+2）=f（x-2）．
∴函數(shù)f（x）的周期是4，
∵在區(qū)間[-5，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx+m恰好有三個不同的零點，
即函數(shù)f（x）與函數(shù)h（x）=mx-m在區(qū)間[-5，3]上有三個不同的交點，
在同一直角坐標(biāo)系上畫出兩個函數(shù)的圖象：
得到$\frac{1-0}{-1-1}$≤m＜$\frac{1-0}{-5-1}$
即-$\frac{1}{2}$≤m＜-$\frac{1}{6}$，
故選B．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合．