Question

11．已知曲線C：f（x）=x³-6x²+9x+d，直線l₁：y=-3x+b，直線l₂：y=k（x-2）+f（2），（其中b，d，k皆為實常數(shù)）試分析下列命題：
①d=0時，函數(shù)y=f（x）恰有兩個零點；
②?d∈R，f（1）+f（3）=2f（2）；
③?b∈R，直線l₁與曲線C有且僅有一個公共點；
④?d，k∈R，直線l₂與曲線C恰有兩個不同的公共點．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①取d=0，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并求得函數(shù)的極值，可知d=0時，函數(shù)y=f（x）恰有兩個零點；
②直接求解等式左右兩邊判斷；
③由x³-6x²+9x+d=-3x+b，得x³-6x²+12x=b-d，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³-6x²+12x，求導(dǎo)可知函數(shù)g（x）為單調(diào)函數(shù)，再由x→-∞時，g（x）→-∞，x→+∞時，g（x）→+∞判斷；
④由①可知，當(dāng)d=k=0時，直線l₂與曲線C恰有兩個不同的公共點．

解答 解：①當(dāng)d=0時，f（x）=x³-6x²+9x，f′（x）=3x²-12x+9，
由f′（x）=3x²-12x+9=0，得x₁=1，x₂=3，
∴f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上為增函數(shù)，
在（1，3）上為減函數(shù)，且極大值f（1）=4＞0，極小值f（3）=0．
∴函數(shù)y=f（x）恰有兩個零點，故①是真命題；
②?d∈R，f（1）+f（3）=4+2d，2f（2）=8+2d，f（1）+f（3）≠2f（2），故②是假命題；
③由x³-6x²+9x+d=-3x+b，得x³-6x²+12x=b-d，
令g（x）=x³-6x²+12x，得g′（x）=3x²-12x+12=3（x-2）²≥0，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又x→-∞時，g（x）→-∞，x→+∞時，g（x）→+∞，
∴?b∈R，方程x³-6x²+9x+d=-3x+b有且只有一個實數(shù)根，
即直線l₁與曲線C有且僅有一個公共點，故③是真命題；
④當(dāng)d=0時，f（x）=x³-6x²+9x，由①知其圖象如圖：
直線l₂過定點（2，4），
可知當(dāng)k=0時，直線l₂與曲線C恰有兩個不同的公共點，
故④正確．
∴其中真命題的個數(shù)為3個．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)零點的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．