Question

11．已知tan$\frac{α}{2}$=2．求$\frac{sin（α+\frac{π}{3}）+cos（α+\frac{π}{6}）}{tan（α+\frac{π}{4}）}$的值．

Answer 1

分析 使用二倍角公式和兩角和的三角函數(shù)公式計算tanα，cosα，tan（$α+\frac{π}{4}$），代入原式即可計算出結(jié)果．

解答 解：∵tan$\frac{α}{2}$=2，∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{4}{3}$．
cosα=cos²$\frac{α}{2}$-sin²$\frac{α}{2}$=$\frac{co{s}^{2}\frac{α}{2}-si{n}^{2}\frac{α}{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}+si{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{3}{5}$．
∴tan（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=-$\frac{1}{7}$，
sin（$α+\frac{π}{3}$）+cos（$α+\frac{π}{6}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$+cosαsin$\frac{π}{3}$+cosαcos$\frac{π}{6}$-sinαsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$cosα=-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．
∴$\frac{sin（α+\frac{π}{3}）+cos（α+\frac{π}{6}）}{tan（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{-\frac{3\sqrt{3}}{5}}{-\frac{1}{7}}$=$\frac{21\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，屬于中檔題．