Question

20．下列函數(shù)：①y=-$\frac{1}{x+1}$；②y=（x-1）³；y=log₂x-1；④y=-（$\frac{1}{2}$）^|x|中，在（0，+∞）上是增函數(shù)且不存在零點的函數(shù)的序號是（　�。�

• A． ①④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性定義，以及函數(shù)零點的定義便可判斷每個函數(shù)是否滿足條件，從而找出正確選項．

解答 解：①反比例函數(shù)$y=-\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∵x＞0時，$-\frac{1}{x+1}＜0$；
∴該函數(shù)不存在零點；
②y=（x-1）³，x=1時，y=0；即該函數(shù)在（0，+∞）上存在零點；
③y=log₂x-1，x=2時，y=0；
即該函數(shù)在（0，+∞）上存在零點；
④x∈（0，+∞）時，$y=-（\frac{1}{2}）^{|x|}=-（\frac{1}{2}）^{x}$；
$y=（\frac{1}{2}）^{x}$為減函數(shù)，∴$y=-（\frac{1}{2}）^{|x|}$在（0，+∞）上為增函數(shù)；
∵x＞0；
∴$0＜（\frac{1}{2}）^{x}＜1$；
$-1＜-（\frac{1}{2}）^{x}＜0$；
∴函數(shù)$y=-（\frac{1}{2}）^{|x|}$在（0，+∞）上無零點；
∴在（0，+∞）上是增函數(shù)且不存在零點的函數(shù)的序號是①④．
故選A．

點評 考查反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義，以及函數(shù)零點的定義及求法，不等式的性質(zhì)．