Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為6，過右焦點F₂向其中一條漸近線作垂線F₂H，交漸近線于H點，當(dāng)△F₁F₂H的周長取最大值時，雙曲線的離心率e=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的一條漸近線方程，求得F₂（c，0）到漸近線的距離為b，運(yùn)用余弦定理，求得|F₁H|=$\sqrt{9+3{a}^{2}}$，|F₂H|=$\sqrt{9-{a}^{2}}$，再由柯西不等式，可得a=$\sqrt{6}$時，△F₁F₂H的周長取最大值6+4$\sqrt{3}$，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得F₂（c，0）到漸近線的距離為|F₂H|=$\frac{\frac{bc}{a}}{\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}}$=b，
在直角三角形OF₂H中，可得|OH|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
即有cos∠HOF₂=$\frac{a}{c}$=$\frac{a}{3}$，
在三角形OF₁H中，|F₁H|²=c²+|OH|²-2c•|OH|•cos∠HOF₁
=9+a²+2a²=9+3a²，
則|F₁H|=$\sqrt{9+3{a}^{2}}$，|F₂H|=$\sqrt{9-{a}^{2}}$，
即有|F₁H|+|F₂H|=|=$\sqrt{9+3{a}^{2}}$+$\sqrt{9-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3+{a}^{2}}$+$\sqrt{9-{a}^{2}}$
≤$\sqrt{（3+1）（3+{a}^{2}+9-{a}^{2}）}$=4$\sqrt{3}$，
當(dāng)$\sqrt{3}$•$\sqrt{9-{a}^{2}}$=$\sqrt{3+{a}^{2}}$，即a=$\sqrt{6}$時，取得等號．
則a=$\sqrt{6}$時，△F₁F₂H的周長取最大值6+4$\sqrt{3}$，
此時雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用三角形的余弦定理和柯西不等式求最大值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．