Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-a_n（n∈N⁺）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并寫出{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a（a_n-1）-（2n+1）（a為常數(shù)）．若b₃＞0，當且僅當a=3時，|b_n|取到最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：計算題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由S_n=n-a_n（n∈N⁺）．得S_n-1=n-1-a_n-1（n≥2）．兩式相減，得2a_n=a _n-1+1，變形得出a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），從而數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，通過求出數(shù)列{a_n-1}的通項公式求出{a_n}的通項公式．
（2）b_n=a（a_n-1）-（2n+1）=-

a

2n

-（2n+1），由b₃＞0得出a＜-56，數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列，由已知僅當a=3時，|b_n|取到最小值，所以b₄＜0，b₃＜|b₄|=-b₄，即b₃+b₄＜0
通過不等式組求出a的范圍．

解答： 解：（1）因為S_n=n-a_n（n∈N⁺）．S_n-1=n-1-a_n-1（n≥2）．
兩式相減，得2a_n=a _n-1+1，即a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
又a₁=1-a₁，所以a₁=

1

2

，a₁-1=-

1

2

，
所以數(shù)列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
所以a_n-1=-

1

2

•（

1

2

）^n-1，得出{a_n}的通項公式a_n=1-

1

2n

，
（2）b_n=a（a_n-1）-（2n+1）=-

a

2n

-（2n+1）
由b₃＞0，得a＜-56（＜0）①，∴數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列．
因為當且僅當a=3時，|b_n|取到最小值，所以b₄＜0②，b₃＜|b₄|=-b₄，即b₃+b₄＜0③
①②③聯(lián)立解得-

256

3

＜a＜-56．

點評：本題考查數(shù)列通項公式求解，數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造，推理計算能力．