Question

已知函數(shù)f（x）=|3x+2|，g（x）=|x|+a
（Ⅰ）當a=0時，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=0時，由f（x）≥g（x）得|3x+2|≥|x|，兩邊平方整理得2x²+3x+1≥0，解得x的范圍．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）求得 a≥|3x+2|-|x|，令h（x）=|3x+2|-|x|=

-2x-2，x≤- 2 3 4x+2，- 2 3 ＜x＜0 2x+2，x≥0

，求得h（x）的最小值，可得所求實數(shù)a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0時，由f（x）≥g（x）得|3x+2|≥|x|，
兩邊平方整理得2x²+3x+1≥0，解得x≤-1 或 x≥-

1

2

，
∴原不等式的解集為{x|x≤-1 或 x≥-

1

2

 }．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得 a≥|3x+2|-|x|，
令h（x）=|3x+2|-|x|=

-2x-2，x≤- 2 3 4x+2，- 2 3 ＜x＜0 2x+2，x≥0

，
故h（x）的最小值為h（-

2

3

）=-

2

3

，從而所求實數(shù)a的范圍為a≥-

2

3

．

點評：本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價轉化和分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．