Question

14．F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），則|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 2
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），利用向量平行四邊形法則及其三角形中位線定理可得：可得|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{2}A}|$+$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{1}A}|$，再利用橢圓定義即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得a=3．
如圖所示，
∵$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），
利用向量平行四邊形法則及其三角形中位線定理可得：
∴|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{2}A}|$+$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{1}A}|$=$\frac{1}{2}×2a$=3．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量平行四邊形法則及其三角形中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．