Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中的前8項是一個以2為公比，以

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為首項的等比數(shù)列，從第8項起是一個等差數(shù)列，公差為-3，求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的公式；
（3）當n為何值時，S_n＜0．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中的前8項是一個以2為公比，以

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為首項的等比數(shù)列，從第8項起是一個等差數(shù)列，公差為-3，可得1≤n≤8時，a_n=2^n-3；n≥9時，a_n=32+（n-8）×（-3）=-3n+56；
（2）分段求和，即可求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的公式；
（3）當n為何值時，S_n＜0；
（3）由S_n＜0，可得

27-1

4

+（n-7）×32+

(n-7)(n-8)

2

×(-3)＜0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中的前8項是一個以2為公比，以

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4

為首項的等比數(shù)列，從第8項起是一個等差數(shù)列，公差為-3，
∴1≤n≤8時，a_n=2^n-3；n≥9時，a_n=32+（n-8）×（-3）=-3n+56，
∴a_n=

2n-3，1≤n≤8 -3n+56，n≥9

（n∈N^*）；
（2）1≤n≤8時，S_n=

2n-1

4

；n≥9時，S_n=

27-1

4

+（n-7）×32+

(n-7)(n-8)

2

×(-3)；
（3）由S_n＜0，可得

27-1

4

+（n-7）×32+

(n-7)(n-8)

2

×(-3)＜0，解得n≥27．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和，屬于中檔題．