Question

（2009•寧夏）已知：如圖，⊙O1與⊙O2外切于C點(diǎn)，AB一條外公切線，A、B分別為切點(diǎn)，連接AC、BC．設(shè)⊙O1的半徑為R，⊙O2的半徑為r，若tan∠ABC=，則 的值為（ ）

A. B. C.2 D.3

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：根據(jù)切線長(zhǎng)定理先證明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC==，得兩圓弦長(zhǎng)的比；進(jìn)一步求半徑的比．

【解析】
如圖，連接O2B，O1A，過(guò)點(diǎn)C作兩圓的公切線CF，交于AB于點(diǎn)F，作O1E⊥AC，O2D⊥BC，

由垂徑定理可證得點(diǎn)E，點(diǎn)D分別是AC，BC的中點(diǎn)，

由弦切角定理知，

∠ABC=∠FCB=∠BO2C，∠BAC=∠FCA=∠AO1C，

∵AO1∥O2B，

∴∠AO1C+∠BO2C=180°，

∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，

即△ACB是直角三角形，

∴∠ABC=∠BO2D=∠ACO1，

設(shè)∠ABC=∠BO2D=∠ACO1=β，

則有sinβ=，cosβ=，

∴tanβ=•=•，

∴（tanβ）2==2．

故選C．