Question

1．由正實(shí)數(shù)組成的數(shù)列{a_n}滿足：a_n²≤a_n-a_n+1，n=1，2…證明：對(duì)任意n∈N^*，都有a_n＜$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，以及a_n²≤a_n-a_n+1，可得0＜a_n+1≤a_n-a_n²，解此不等式即可得到0＜a_n＜1，不難得出a₁＜1，a₂＜1，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：a_n²≤a_n-a_n+1，得a_n+1≤a_n-a_n²
∵在數(shù)列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n+1＞0，
∴a_n-a_n²＞0，
∴0＜a_n＜1，
∴a₂≤a₁-a₁²=a₁（1-a₁）≤（$\frac{{a}_{1}+1-{a}_{1}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$
由此猜想：a_n＜$\frac{1}{n}$（n≥2）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；
②當(dāng)n=k時(shí)（k≥2，k∈N）時(shí)，假設(shè)猜想正確，即a_k＜$\frac{1}{k}$
那么a_k+1≤a_k-a_k²=-（a_k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤-（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{k-1}{{k}^{2}}$＜$\frac{k-1}{{k}^{2}-1}$＜$\frac{1}{k+1}$
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也正確
綜上所述，對(duì)于一切n∈N^*，a_n＜$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列與不等式問題和數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)探究性問題先歸納，再猜想，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立，屬中檔題．