Question

定義：我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度之比即，叫做橢圓的離心率.若兩個(gè)橢圓的離心率相同，稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似.

（1）判斷橢圓與橢圓是否相似？并說(shuō)明理由；

（2）若橢圓與橢圓相似，求的值；

（3）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與（2）中的橢圓交于兩點(diǎn)，試探究：在橢圓上是否存在異于的定點(diǎn)，使得直線(xiàn)的斜率之積為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1），相似；（2）；（3），或，.

【解析】

試題分析：（1）掌握好離心率的及時(shí)定義即可解決問(wèn)題；（2）掌握好離心率的及時(shí)定義即可解決問(wèn)題；（3）解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是有一定難度的，這種帶有探究性問(wèn)題，通常都假設(shè)存在，然后去求，若有解則存在，若無(wú)解，則不存在，如何求？如何從一個(gè)方程中求出多個(gè)字母的值，關(guān)鍵依賴(lài)于對(duì)題意的正確理解和運(yùn)算能力，通過(guò)這道題我們也能悟出此類(lèi)題的一般的解題規(guī)律.

試題解析：（1），相似； 4分

（2）由，得； 8分

（3）設(shè)、、、（為常數(shù)），將代入，整理得 10分

則有 （＊）

由得，即

亦即（＊＊）

將（＊）代入（＊＊）整理得：

12分

因?yàn)閷?duì)動(dòng)直線(xiàn)，總要存在定點(diǎn)，所以上式成立與無(wú)關(guān)，因此必須有 14分

得，或，. 16分

考點(diǎn)：1.橢圓的方程與性質(zhì)；2.解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題的處理.