Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，F(xiàn)（x）=e^x+ax，其中x＞0，a＜0．
（1）若f（x）和F（x）在區(qū)間（0，ln3）上具有時間的單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若$a∈（{-∞，-\frac{1}{e^2}}]$，且函數(shù)g（x）=xe^ax-1-2ax+f（x）的最小值為φ（a），求φ（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出φ（a）的最小值．

解答 解：（1）$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}，F(xiàn)'（x）={e^x}+a，x＞0$，…（1分）
∵a＜0，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，…（2分）
當-1≤a＜0時，F(xiàn)'（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意…（3分）
當a＜-1時，由F'（x）＞0，得x＞ln（-a），由F'（x）＜0，得0＜x＜ln（-a），
∴F（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，ln（-a）），單調(diào)增區(qū)間為（ln（-a），+∞）…（4分）
∵f（x）和F（x）在區(qū)間（0，ln3）上具有相同的單調(diào)性，
∴l(xiāng)n（-a）≥ln3，解得a≤-3，
綜上，a的取值范圍是（-∞，-3]…（5分）
（2）$g'（x）={e^{ax-1}}+ax{e^{ax-1}}-a-\frac{1}{x}=（{ax+1}）（{{e^{ax-1}}-\frac{1}{x}}）$，…（6分）
由${e^{ax-1}}-\frac{1}{x}=0$得到$a=\frac{1-lnx}{x}$，設(shè)$p（x）=\frac{1-lnx}{x}，p'（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$，…（7分）
當x＞e²時，p'（x）＞0；當0＜x＜e²時，p'（x）＜0，
從而p（x）在（0，e²）上遞減，在（e²，+∞）上遞增，∴$p{（x）_{min}}=p（{e^2}）=-\frac{1}{e^2}$…（9分）
當$a≤-\frac{1}{e^2}$時，$a≤\frac{1-lnx}{x}$，即${e^{ax-1}}-\frac{1}{x}≤0$，
在$（{0，-\frac{1}{a}}）$上，ax+1＞0，g'（x）≤0，g（x）遞減；
在$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$上，ax+1＜0，g'（x）≥0，g（x）遞增，∴$g{（x）_{min}}=g（{-\frac{1}{a}}）=φ（a）$，…（10分）
設(shè)$t=-\frac{1}{a}∈（{0，{e^2}}]，φ（a）=h（t）=\frac{t}{e^2}-lnt+1（{0＜t≤{e^2}}）$，$h'（t）=\frac{1}{e^2}-\frac{1}{t}≤0，h（t）$在（0，e²]上遞減，∴h（t）≥h（e²）=0，
∴φ（a）的最小值為0…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．