Question

2．小型風(fēng)力發(fā)電項(xiàng)目投資較少，開發(fā)前景廣闊．受風(fēng)力自然資源影響，項(xiàng)目投資存在一定風(fēng)險．根據(jù)測算，IEC（國際電工委員會）風(fēng)能風(fēng)區(qū)分類標(biāo)準(zhǔn)如表：

風(fēng)能分類	一類風(fēng)區(qū)	二類風(fēng)區(qū)
平均風(fēng)速m/s	8.5--10	6.5--8.5

某公司計劃用不超過100萬元的資金投資于A、B兩個小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目．調(diào)研結(jié)果是，未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利40%的可能性為0.6，虧損20%的可能性為0.4；
B項(xiàng)目位于二類風(fēng)區(qū)，獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.2，不賠不賺的可能性是0.2．
假設(shè)投資A項(xiàng)目的資金為x（x≥0）萬元，投資B項(xiàng)目資金為y（y≥0）萬元，且公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于B項(xiàng)目．（1）請根據(jù)公司投資限制條件，寫出x，y滿足的條件，并將它們表示在平面xOy內(nèi)；
（2）記投資A，B項(xiàng)目的利潤分別為ξ和η，試寫出隨機(jī)變量ξ與η的分布列和期望Eξ，Eη；
（3）根據(jù)（1）的條件和市場調(diào)研，試估計一年后兩個項(xiàng)目的平均利潤之和z=Eξ+Eη的最大值，并據(jù)此給出公司分配投資金額建議．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公司計劃用不超過100萬元的資金投資于A、B兩個小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目，公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于B項(xiàng)目，可得x，y滿足的條件，從而可得平面區(qū)域；
（2）利用未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利40%的可能性為0.6，虧損20%的可能性為0.4；B項(xiàng)目位于二類風(fēng)區(qū)，獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.2，不賠不賺的可能性是0.2，可得隨機(jī)變量ξ與η的分布列和期望Eξ，Eη；
（3）利用平面區(qū)域，即可求得一年后兩個項(xiàng)目的平均利潤之和z=Eξ+Eη的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，公司計劃用不超過100萬元的資金投資于A、B兩個小型風(fēng)能發(fā)電項(xiàng)目，公司要求對A項(xiàng)目的投資不得低于B項(xiàng)目可得
$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤100}\\{y≤x}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，表示的區(qū)域如圖所示；

（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0.4x	-0.2x
P	0.6	0.4

∴Eξ=0.24x-0.08x=0.16x；
隨機(jī)變量η的分布列為

η	0.35y	-0.1y	0
P	0.6	0.2	0.2

∴Eη=0.21y-0.02y=0.19y；
（Ⅲ）z=Eξ+Eη=0.16x+0.19y
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=100}\\{y=x}\end{array}\right.$，可得x=y=50
根據(jù)圖象，可得x=y=50時，估計一年后兩個項(xiàng)目的平均利潤之和z=Eξ+Eη的最大值為17.5萬元．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃知識，考查隨機(jī)變量ξ與η的分布列和期望，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．