Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=2^|x+a|-|x+b|，
（Ⅰ）當a=0，b=-$\frac{1}{2}$時，求使f（x）≥$\sqrt{2}$的x取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）≥$\frac{1}{16}$恒成立，求a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用y=2^x是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化f（x）$≥\sqrt{2}$為絕對值不等式，通過$x≥\frac{1}{2}$，$0＜x＜\frac{1}{2}$，x≤0時，分別求解絕對值不等式．
（Ⅱ）利用f（x）≥$\frac{1}{16}$，轉(zhuǎn)化為絕對值不等式，利用絕對值三角不等式，化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由于y=2^x是增函數(shù)，f（x）$≥\sqrt{2}$等價于$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|≥\frac{1}{2}$①
當$x≥\frac{1}{2}$時，$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|=\frac{1}{2}$，則①式恒成立，
當$0＜x＜\frac{1}{2}$時，$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|=2x-\frac{1}{2}$，①式化為2x≥1，此時①式無解，
當x≤0時，$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|=-\frac{1}{2}$，①式無解．
綜上，x取值范圍是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$…（5分）
（Ⅱ）$f（x）≥\frac{1}{16}?|x+a|-|x+b|≥-4$②
而由||x+a|-|x+b||≤|x+a-x-b|=|a-b|⇒-|a-b|≤|x+a|-|x+b|≤|a-b|
∴要②恒成立，只需-|a-b|≥-4，即|a-b|≤4，
可得a-b的取值范圍是[-4，4]．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．