Question

6．某闖關(guān)游戲規(guī)則是：先后擲兩枚骰子，將此試驗(yàn)重復(fù)n輪，第n輪的點(diǎn)數(shù)分別記為x_n，y_n，如果點(diǎn)數(shù)滿足x_n＜$\frac{6{y}_{n}}{{y}_{n}+6}$，則認(rèn)為第n輪闖關(guān)成功，否則進(jìn)行下一輪投擲，直到闖關(guān)成功，游戲結(jié)束．
（I）求第一輪闖關(guān)成功的概率；
（Ⅱ）如果第i輪闖關(guān)成功所獲的獎(jiǎng)金數(shù)f（i）=10000×$\frac{1}{{2}^{i}}$（單位：元），求某人闖關(guān)獲得獎(jiǎng)金不超過(guò)1250元的概率；
（Ⅲ）如果游戲只進(jìn)行到第四輪，第四輪后不論游戲成功與否，都終止游戲，記進(jìn)行的輪數(shù)為隨機(jī)變量X，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）枚舉法列出所有滿足條件的數(shù)對(duì)（x₁，y₁）即可，
（Ⅱ）由10000×$\frac{1}{{2}^{i}}$≤1250，得i≥3，由（Ⅰ）每輪過(guò)關(guān)的概率為$\frac{2}{9}$．某人闖關(guān)獲得獎(jiǎng)金不超過(guò)1250元的概率：P（i≥3）=1-P（i=1）-P（i=2）
（Ⅲ）設(shè)游戲第k輪后終止的概率為p_k（k=1，2，3，4），分別求出相應(yīng)的概率，由能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ），當(dāng)y₁=6時(shí)，x₁＜$\frac{36}{12}=3$，因此x₁=1，2；
當(dāng)y₁=5時(shí)，x₁＜$\frac{30}{11}$，因此x₁=1，2；
當(dāng)y₁=4時(shí)，x₁＜$\frac{24}{10}$，因此x₁=1，2；
當(dāng)y₁=3時(shí)，x₁＜$\frac{18}{9}=2$，因此x₁=1；
當(dāng)y₁=2時(shí)，x₁＜$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$因此x₁=1；
當(dāng)y₁=1時(shí)，x₁＜$\frac{6}{7}$，因此x₁無(wú)值；
∴第一輪闖關(guān)成功的概率P（A）=$\frac{8}{6×6}=\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）令金數(shù)f（i）=10000×$\frac{1}{{2}^{i}}$≤1250，則i≥3，
由（Ⅰ）每輪過(guò)關(guān)的概率為$\frac{2}{9}$．
某人闖關(guān)獲得獎(jiǎng)金不超過(guò)1250元的概率
：P（i≥3）=1-P（i=1）-P（i=2）=1-$\frac{2}{9}$-（1-$\frac{2}{9}$）×$\frac{2}{9}$=$\frac{49}{81}$
（Ⅲ）依題意X的可能取值為1，2，3，4
設(shè)游戲第k輪后終止的概率為p_k（k=1，2，3，4）
p₁=$\frac{2}{9}$．p₂=（1-$\frac{2}{9}$）×$\frac{2}{9}$=$\frac{14}{81}$，p₃=（1-$\frac{2}{9}$）²×$\frac{2}{9}$=$\frac{98}{729}$，p₄=1-p₁-p₂-p₃=$\frac{343}{729}$；
故X的分布列為

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{14}{81}$	$\frac{98}{729}$	$\frac{343}{729}$

因此EX=1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{14}{81}$+3×$\frac{98}{729}$+4×$\frac{343}{729}$=$\frac{2080}{729}$

點(diǎn)評(píng) 題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求解，是中檔題，