Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂=5，a₅=11，其前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{4}{{{a_n}^2-1}}（{n∈{N^*}}）$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的首項與公差，然后求解通項公式以及數(shù)列和．
（2）化簡數(shù)列的通項公式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列的首項為a₁，公差為d．因為a₂=5，a₅=11，所以d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=2，
可得a₁=3，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n²+2n．
（2）由（1）可知a_n=2n+1，
所以b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以T_n=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n為：$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，等差數(shù)列的通項公式的求法，裂項相消法的應(yīng)用，考查計算能力．