已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx
(1)若曲線h(x)=f(x)+ax2-ex(a∈R)在點(diǎn)(1,h(1))處的切線垂直于y軸,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)F(x)=1-
ax
-g(x) (a∈R)
在區(qū)間(0,2)上無(wú)極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)把f(x)代入曲線h(x),求h(x)的導(dǎo)函數(shù),讓導(dǎo)函數(shù)在x=1時(shí)的函數(shù)值為0,求解a的值,把a(bǔ)值代回原函數(shù),由h(x)大于0和小于0分別求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)F(x)=1-
a
x
-g(x) (a∈R)
在區(qū)間(0,2)上無(wú)極值,說(shuō)明函數(shù)F(x)=1-
a
x
-g(x) (a∈R)
在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)函數(shù),把函數(shù)F(x)求導(dǎo)后根據(jù)a的符號(hào)不同對(duì)a進(jìn)行分類討論,以保證導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0,2)上大于0或小于0恒成立,從而求出a的具體范圍.
解答:解:(1)∵h(yuǎn)(x)=f(x)+ax2-ex=ex+ax2-ex
∴h(x)=ex+2ax-e,
又∵曲線h(x)在點(diǎn)(1,h(1))處的切線垂直于y軸
∴k=h(1)=2a,
由k=2a=0得a=0,
∴h(x)=ex-ex∴h(x)=ex-e,
令h(x)=ex-e>0得x>1,
令h(x)=ex-e<0得x<1,
∴故h(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(-∞,1).
(2)∵F(x)=1-
a
x
-g(x)=1-
a
x
-lnx(x>0)

F(x)=
a
x2
-
1
x
=
a-x
x2

①當(dāng)a≤0時(shí),在區(qū)間(0,2)上F(x)=
a-x
x2
<0
恒成立,即函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減,故函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,2)上無(wú)極值; 
②當(dāng)a>0時(shí),令F(x)=
a-x
x2
=0
得:x=a,
當(dāng)x變化時(shí),F(xiàn)(x)和F(x)的變化情況如下表
            x                   (0,a) a (a,+∞)
F(x) + 0 -
F(x) 單調(diào)遞增↗ 極大值 單調(diào)遞減↘
∴函數(shù)F(x)在x=a處有極大值,
∴要使函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,2)上無(wú)極值,只需a≥2,
綜上①②所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0]∪[2,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值.掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件.
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