Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點B在直線上運動，過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓C：（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．根據(jù)拋物線的定義可知點M的軌跡為拋物線，根據(jù)焦點和準(zhǔn)線方程，則可得拋物線方程．
（2）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x，y代入化簡整理可得（x-2）b²+2yb-x=0，同理可得（x-2）c²+2yc-x=0，進(jìn)而可知b，c為方程（x-2）x²+2yx-x=0的兩根，根據(jù)求根公式，可求得b-c，進(jìn)而可得△PRN的面積的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式可知當(dāng)當(dāng)x=4時面積最小，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動點M的軌跡E是以為焦點，
為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y²=2x；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y-b）x-xy+xb=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即．
注意到x＞2，化簡上式，得（x-2）b²+2yb-x=0，
同理可得（x-2）c²+2yc-x=0．
由上可知，b，c為方程（x-2）x²+2yx-x=0的兩根，
根據(jù)求根公式，可得．
故△PRN的面積為
，
等號當(dāng)且僅當(dāng)x=4時成立．此時點P的坐標(biāo)為或．
綜上所述，當(dāng)點P的坐標(biāo)為或時，△PRN的面積取最小值8．
點評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的關(guān)系．直線與圓錐曲線的問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題．與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．