Question

3．已知函數(shù)f（x）=3sinωxcosx+$\sqrt{3}$cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ （φ＞0）個(gè)單位后，得到的函數(shù)圖形的一條對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{8}$，則φ的值不可能為（　　）

• A． $\frac{5π}{24}$
• B． $\frac{13π}{24}$
• C． $\frac{17π}{24}$
• D． $\frac{23π}{24}$

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、圖象的對(duì)稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：已知函數(shù)f（x）=3sinωxcosx+$\sqrt{3}$cos²ωx=$\frac{3}{2}$sin2ωx+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的最小正周期為$\frac{π}{2}$，
故$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=$\sqrt{3}$sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ個(gè)單位后得到g（x）=$\sqrt{3}$sin[4（x+φ）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
=$\sqrt{3}$sin（4x+4φ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的圖象．
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的一條對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{8}$，故4•$\frac{π}{8}$+4φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
解得 φ=$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{24}$，k∈Z，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、圖象的對(duì)稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．