Question

4．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（4-x）=f（x），f（-1）=6，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=-1，Sn=2a_n+n （n∈N^﹡），則f（a₅）+f（a₆）=-12．

Answer 1

分析 先由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（4-x）=f（x），推知f（8+x）=f（x），得到f（x）是以8為周期的周期函數(shù)．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63計算即可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∵f（4-x）=f（x），
∴f（4-x）=-f（-x），即f（4+x）=-f（x），
∴f（4+4+x）=-f（4+x）=f（x），
∴f（8+x）=f（x），
則f（x）是以8為周期的周期函數(shù)．
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，∴S_n-1=2a_n-1+n-1，∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，
即a_n=2a_n-1-1，a_n-1=2（a_n-1-1），{a_n-1}以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
a_n=1-2ⁿ．
∴a₅=-31，a₆=-63，
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（1）+f（1）=2f（1）=-2f（-1）=-12．
故答案為：-12．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，在函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用中，結(jié)合奇偶性，對稱性和周期性球函數(shù)周期是一個重點(diǎn)，是中檔題．