Question

8．已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和$\frac{z}{2-i}$均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．則復(fù)數(shù)|z|=$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），由題意，z+2i=a+（b+2）i∈R，則虛部等于0，可得b的值，又$\frac{z}{2-i}$=$\frac{2a-b}{5}+\frac{a+2b}{5}i$i∈R，則虛部等于0，可得a的值，則復(fù)數(shù)z可求，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得答案．

解答 解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），
由題意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i，
∵z+2i是實數(shù)，
∴b+2=0，即b=-2．
又$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（a+bi）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{（2a-b）+（a+2b）i}{5}$=$\frac{2a-b}{5}+\frac{a+2b}{5}i$，
∵$\frac{z}{2-i}$均為實數(shù)，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．
∴z=4-2i．
則|z|=$\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$．
故答案為：$2\sqrt{5}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．