Question

已知函數(shù)f（x）=e^x的圖象與y軸的交點為A．
（1）求曲線y=f（x）在點A處的切線方程，并證明切線上的點不會在函數(shù)f（x）圖象的上方；
（2）F（x）=f（x）-ax²-x-1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）若n∈N^*，求證：(1+

1

n

)n+(1+

2

n

)n+(1+

3

n

)n+…+(1+

n

n

)n＜

e-en+1

1-e

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意求得A的坐標(biāo)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到x=0時的導(dǎo)數(shù)，由直線方程的點斜式得答案；
（2）由F（x）=f（x）-ax²-x-1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得其導(dǎo)數(shù)大于等于0在x∈[1，+∞）上恒成立．分離參數(shù)a后構(gòu)造函數(shù)h(x)=

ex-1

2x

，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值后得答案；
（3）由（1）得f（x）≥x+1，又在x=0時取得等號，可得當(dāng)x≥1時x+1＜e^x，平方后得（1+x）ⁿ＜（e^x）ⁿ=e^nx，依次取x=

1

n

，

2

n

，…

n

n

后累加證得數(shù)列不等式．

解答： （1）解：由題意可得A（0，1），又f′（x）=e^x，∴f′（0）=1，
則切線方程為y-1=1×（x-0），即x-y+1=0；
要證切線上的點不會在函數(shù)f（x）圖象的上方，即證不等式e^x≥x+1恒成立，
令g（x）=e^x-x+1，g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=0，得x=0．
當(dāng)x＜0時，g′（x）0．
∴當(dāng)x=0時，g（x）取得極小值g（0）=0，同時也是最小值．
∴g（x）≥0恒成立，即不等式e^x≥x+1恒成立；
（2）F（x）=f（x）-ax²-x-1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得
F′（x）=e^x-2ax-1≥0在x∈[1，+∞）上恒成立．
即e^x-1≥2ax恒成立，又x∈[1，+∞），
∴a≤

ex-1

2x

恒成立，則a≤(

ex-1

2x

)min．
令h(x)=

ex-1

2x

，h′(x)=

ex(x-1)+1

2x2

，x∈[1，+∞），
可得e^x（x-1）+1＞0．
∴h′（x）＞0．
故h（x）在[1，+∞）上得到遞增，h(x)min=h(1)=

e-1

2

．
∴a∈（-∞，

e-1

2

]；
（3）由（1）得f（x）≥x+1，又在x=0時取得等號，∴當(dāng)x≥1時x+1＜e^x．
（1+x）ⁿ＜（e^x）ⁿ=e^nx．
令x=

1

n

，

2

n

，…

n

n

，可得(1+

1

n

)n＜e，(1+

2

n

)n＜e2，…，(1+

n

n

)n＜en，
相加得：(1+

1

n

)n+(1+

2

n

)n+(1+

3

n

)n+…+(1+

n

n

)n＜

e-en+1

1-e

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的證明方法，是壓軸題．