Question

已知向量

a

、

b

，且|

a

|=1，|

b

|=2，（

a

+2

b

）⊥（3

a

-

b

）．
（Ⅰ）求向量

a

與

b

夾角的大小；
（Ⅱ）求|

a

-2

b

|的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）設向量

a

與

b

夾角的大小為θ，由題意（

a

+2

b

）⊥（3

a

-

b

）可得（

a

+2

b

）•（3

a

-

b

）=0，進而可以求得

a

•

b

=1，可得cosθ 的值，從而求得θ 的值．
（Ⅱ）根據|

a

-2

b

|=

( a -2 b )2

=

a 2-4 a • b +4 b 2

，計算求得結果．

解答： 解：（Ⅰ）設向量

a

與

b

夾角的大小為θ，∵向量

a

、

b

，且|

a

|=1，|

b

|=2，（

a

+2

b

）⊥（3

a

-

b

），
∴（

a

+2

b

）•（3

a

-

b

）=3

a

2+5

a

•

b

-2

b

2=3+5

a

•

b

-8=5

a

•

b

-5=0，
∴

a

•

b

=1，即 1×2×cosθ=1，求得cosθ=

1

2

，∴θ=60°．
（Ⅱ）|

a

-2

b

|=

( a -2 b )2

=

a 2-4 a • b +4 b 2

=

1-4+4×4

=

13

．

點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于基礎題．