Question

15．求與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1相交于A?B兩點，并且線段AB的中點為M（1，1）的直線方程．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，代入橢圓方程，利用“點差法”求得AB所在直線的斜率，再由直線方程的點斜式得答案．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1$，
兩式作差得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{9}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{9（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵線段AB的中點為M（1，1），∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4×2}{9×2}=-\frac{4}{9}$，
∴線段AB所在直線方程為：y-1=$-\frac{4}{9}$（x-1），
即：4x+9y-13=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，訓練了“中點弦”問題的求解方法，是中檔題．