Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a．
（Ⅰ）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為

3

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

，易得周期，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈[-

π

6

，

π

3

]可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，進而由題意可得a的方程，解方程可得a值，可得解析式．

解答： 解：（Ⅰ）化簡可得f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

，
∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為（1+a+

1

2

）+（-

1

2

+a+

1

2

）=

3

2

，解得a=0
∴f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

點評：本題考查三角函數(shù)的公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．